Po pierwsze prywatny konstruktor w C# uniemożliwia nam utworzenie instancji klasy.
Po drugie – uniemożliwia dziedziczenie po niej.

Do czego więc może się przydać?
Otóż przydać się może, gdy chcemy utworzyć klasę, która zawierać będzie tylko metody statyczne i nie potrzebujemy, a wręcz nie chcemy, by ktokolwiek tworzył instancje tejże klasy.